analisis regresi dan analisis korelasi

ANALISIS REGRESI KORELASI

Analisis regresi mempelajari bentuk hubungan antara satu atau lebih peubah/variabel bebas (X) dengan satu peubah tak bebas (Y). dalam penelitian peubah bebas ( X) biasanya peubah yang ditentukan oleh peneliti secara bebas misalnya dosis obat, lama penyimpanan, kadar zat pengawet, umur ternak dan sebagainya. Disamping itu peubah bebas bisa juga berupa peubah tak bebasnya, misalnya dalam pengukuran panjang badan dan berat badan sapi, karena panjang badan lebih mudah diukur maka panjang badan dimasukkan kedalam peubah bebas (X), sedangkan berat badan dimasukkan peubah tak bebas (Y). Sedangkan peubah tak bebas (Y) dalam penelitian berupa respon yang diukur akibat perlakuan/peubah bebas (X). misalnya jumlah sel darah merah akibat pengobatan dengan dosis tertentu, jumlah mikroba daging setelah disimpan beberapa hari, berat ayam pada umur tertentu dan sebagainya.

Untuk mempelajari cara melakukan analisis regresi linear, silahkan baca artikel kami antara lain:
Regresi Linear Sederhana dengan SPSS
Regresi Linear Berganda dengan Minitab
Regresi Linear Berganda dengan STATA
Analisis Regresi dalam Excel

      Bentuk hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas (Y) bisa dalam bentuk polinom derajat satu (linear) polinom derajat dua (kuadratik). Polinom derajat tiga (Kubik) dan seterusnya. Disamping itu bisa juga dalam bentuk lain misalnya eksponensial, logaritma, sigmoid dan sebagainya. Bentuk-bentuk ini dalam analisis regresi-korelasi biasanya dilakukan transformasi supaya menjadi bentuk polinom.

      Dalam bentuk yang paling sederhana yaitu satu peubah bebas (X) dengan satu peubah tak bebas (Y) mempunyai persamaan:

      Y =a +bx

Disini a disebut intersep dan b adalah koefisien arah atau koefisien beta.

      Dalam pengertian fungsi persamaan garis Y + a + bx hanya ada satu yang dapat dibentuk dari dua buah titik dengan koordinat yang berbeda yaitu ( X₁, Y₁) dan X_2,Y₂). Hal ini berarti kita bisa membuat banyak sekali persamaan garis dalam bentuk lain melalui dua buat titik yang berbeda koordinatnya/tidak berimpit.

            Persamaan garis melalui dua buah titik dirumuskan sebagai berikut:

Persamaan Garis Regresi

Sebagai contoh misalnya titik A (1,3) dan titik B ($,9) maka persamaan garis linear yang dapat dibuat adalah:

Persamaan Garis Linear

Dalam bentuk matrik bisa kita buat persaman sebagai berikut:

Matrix Regresi Linear

Jadi a=1 dan b=2 sehingga persamaannya Y=1 +2X

Jika jumlah data sebanyak n maka persamaannya sebagai berikut:

Disini β_o adalah penduga a, β₁ adlah penduga b dan ε_i merupakan besarnya simpangan persamaan garis penduga. Semakin kecil nilai ε_i persamaan regresi yang diperoleh akan semakin baik.

Jadi kita dapat menuliskan pengamatan kita menjadi:

Dengan notasi matriks dapat ditulis sebagai berikut:

Jadi kita peroleh matrik Y,X,β dan ε dengan dimensi sebagai berikut :

Jika diasumsikan E(ε) = 0 maka E(Y) = Xβ

      Bila modelnya benar β merupakan penduga terbaik yaitu dengan jalan melakukan penggandaan awal dengan X’ sehingga diperoleh persamaan normal sebagai berikut:

Jadi β=(X’X)^-1X’Y

Disini(X’X)^-1 adalah kebalikan (inverse) dari matrik X’X

Contoh :

      Seorang peneliti ingin mengetahui bentuk hubungan antara jumlah cacing jenis tertentu dengan jumlah telurnya pada usus ayam buras. Untuk tujuan tersebut diperiksa 20 ekor ayam dan ditemukan sebagai berikut:

Tabel 1 jumlah cacing dan jumlah telurnya pada usus ayam buras.

Dari data diatas kita bisa menghitung:

Bila kita duga bentuk hubungan antara jumlah cacing (X) dan jumlah telurnya (Y) adalah:

Jadi Ŷ=-2,442 + 4,103 Xi,

Persamaan garis regresi Yi =-2,442 + 4,103 Xi bukanlah satu-satunya garis penduga untuk menyatakan hubungan antara jumlah cacing dengan jumlah telurnya. Sudah barang tentu masih banyak lagi bentuk persamaan penduga yang dapat dibuat misalnya dalam bentuk persamaan Yi=β_o+β₁X_i+β₂X_i²,Yi=β_oX_i^β1 (dalam bentuk linear LnYi=Ln β_o+β_iLnXi) dan masih banyak lagi bentuk yang lainnya.

Untuk menyatakan apakah garis yang diperoleh cukup baik untuk menggambarkan hubungan antara peubah bebas (X) dengan peubah tak bebas (Y) dapat dilakukan pengujian bentuk model yang digunakan dan keeratan hubungannya (korelasi) untuk menyatakan ketepatan dan ketelitian persamaan garis regresi yang diperoleh.

analisis variansi

• ANALISIS VARIANSI 1. PENGERTIAN Analisis variansi adalah suatu prosedur untuk uji perbedaan menjadi beberapa populasi. 2. Jenis variansi  Variansi sampel s2 dan variansi populasi σ2. kedua varians ini melukiskan derajat perbedaan/variansi nilai data kelompok/kmpulan data tersebut. Variansi ini dihitung berdasarkan rata-rata kumpulan data.  Variansi sampling berbagai statistik, untuk rata-rata diberi lambang untuk σ2/x, proporsi diberi lambang σ2x/n.
• 3. A. Secara umum variansi digolongkan ke dalam variansi galat dan variansi sistematik. Variansi galat adalah variansi dalam kelompok.  Variansi sistematik adalah variansi pengukura karena adanya pengaruh yang menyebabkan nilai data lebih condong ke satu arah tertentu. Contoh variansi sistematik : kumpulan data hasilpenelitian antar kelompok.
• 4. B. Istilah yang terdapat dalam anova: Jumlah kuadrat (JK) dikoreksi yaitu setiap data dikurangi rata-ratanya lalu dikuadratkan, kemudian jumlahkan. Derajat kebebasan yaitu banyak kelompok dikurangi satu.
• 5. Secara umum, rumus untuk mengetahui variansi sebuah data adalah
• 6. Contoh 1 Misalkan ada empat kelas siswa, tiap kelas banyak muridnya sama, sedang belajar bahasa inggris, masing-masing kelas diajar oleh seorang guru dan tiap guru menggunankan metoda mengajar yang berbeda, sebut A,B,C dan D. Nilai hasil ujian akhir proses belajar untuk tiap metoda, rata-ratanya seperti berikut : Metoda A B C D Rata-rata 67,3 76,5 56,9 63,7
• 7. jawab :  Rata-rata untuk keempat rata-rata itu ∑fx = (67,3 + 76,5 + 56,9 + 63,7) = 66,1 n 4  Jumlah kuadrat-kuadrat (JK) dikoreksi, = ( X- )2 = (67,3-66,1)2 + (76,5 – 66,1)2 + (56,9 – 66,1)2 + +(63,7 – 66,1)2 = 200  Derajat kebebasan =n–1 dengan ‘n’ = banyak data =4–1 =3
• 8. Contoh 2 Misalkan dua jenis makanan ayam, sebut makanan A dan makanan B dicobakan : A terhadap 5 ekor ayam dan B terhadap 4 ekor ayam. Segala karakteristik kesembilan ekor ayam itu (misalnya besarnya, jenis, umur, dll) sama. Setelah 20 hari percobaan pertmabahan berat dagingnya (dalam ons) ditimbang dan dicatat. Hasilnya seperti berikut : Makanan A 3,2 3,7 3,9 3,6 3,5 Makanan B 2,2 2,9 2,5 2,4 -
• 9. Menghitung bertambahan berat badan ayam  Menghitung rata-rata A = ∑fx = (3,2 + 3,7 + 3,9 + 3,6 + 3,5) =17,9 n 5 5 = 3,58  Menghitung rata-rata B = ∑fx = ( 2,2 + 2,9 + 2,5 + 2,4 ) = 10,0 n 4 4 = 2,5
• 10. Menghitung variansi 1. Menentukan rata-rata “ karena ukuran sampel berbeda, maka rata-rata untuk data tersebut adalah : X = 5(3,58) + 4(2,50) = 3,1 9 2. Menghitung jumlah kuadrat • Untuk makanan A = 5(3,58 – 3,1)2 = 1,152 • Untuk makanan B = 4(2,50-3,1)2 = 1,44
• 11. Maka JK dikoreksi dari kedua data tersebut = 1,152 + 1,44 = 2,592 3. Mengitung variansi = JK dikoreksi = 2,592 = 2,592 derajat kebebasan 2-1
• 12. VARIANS – DATA TUNGGAL • Rumus (sampel) n Xi S 2 X 2 i 1 n 1 • Rumus (populasi) N Xi 2 i 1 N 2 S2 = varians sampel Xi = data ke-i = rata-rata sampel n = banyaknya sampel σ2 Xi μ N = = = = varians populasi data ke-i rata-rata populasi banyaknya populasi
• 13. VARIANS – DATA BERKELOMPOK • Rumus (sampel) k f i ( xi s 2 x) 2 i 1 k fi 1 i 1 S2 = varians sampel xi = nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i x = rata-rata sampel • Rumus (Populasi) k f i ( xi 2 ) i 1 k fi i 1 2 σ2 = varians populasi xi = nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i μ = rata-rata populasi
• 14. ANALISIS VARIANSI 1 ARAH Membahas pengujian kesamaan k, (k > 2), dan buah ratarata populasi, misalnya : kita mempunyai k, (k > 2), buah populasi yang masing-masing berdistribusi independen dan normal dengan rata-rata μ1, μ2, . . . μ k dan simpangan baku berturut-turut σ1, σ2, . . . σ k. Akan diuji hipotesis nol H0 dengan tandingan H1 : H0 : μ1 = μ2 = . . . = μ k H1 : paling sedikit 1 tanda sama dengan tidak berlaku Dari tiap populasi secara independen, kita ambil sebuah sampel acak, berukuran n1 dari populasi ke-1, n2 dari populasi ke-2 dst. berukuran nk dari populasi ke-k.
• 15. Data sampel akan dinyatakan dengan yij yang berarti data ke-j dalam sampel yang diambil dari populasi ke-i. DATA SAMPEL DARI k BUAH POPULASI BERDISTRIBUSI NORMAL DARI POPULASI KE 1 2 3 . . . . . K Y11 Y12 Y13 . . . Y1n1 Y21 Y22 Y23 . . . Y1n2 Y31 Y32 Y33 . . . Y1n1 . . . . . . . . . . . . . . . Yk1 Yk2 Yk3 . . . . . Yknk JUMLAH J1 J2 J3 . . . . . Jk RATA-RATA Y1 Y2 Y3 . . . . . Yk Data Hasil Pengamatan
• 16. Untuk menguji H0 melawan H1, varoans-varians inilah yang akan digunakan, tepatnya varians antar kelompok dan varians dalam kelompok dengan persyaratan tentang populasi seperti diatas, rasio varians antar kelompok terhadap varians dalam kelompok membentuk statistik F:
• 17. Daftar analisis variansi untuk menguji hipotesis Sumber variansi DK JK KT Rata-rata Antar kelompok Dalam kelompok TOTAL F A/D --- ---
• 18. Contoh Empat macam campuran makanan deberikan kepada kambing dalam rangka percobaan untuk meningkatkan pertambahan berat dagingnya. Setelah percobaan selesai, pertambahan berat dagingnya dicatat dan hasilnya sebagai berikut :
• 19. Daftar pertambahan daging kambing (dalam kg) setelah percobaan selesai Pertambahan berat karena makanan ke 1 2 3 4 12 14 6 9 Data 20 15 16 14 Hasil 23 10 16 18 pengamatan 10 19 20 19 17 22 82 80 58 60 16,4 16,0 14,5 15,0 Jumlah Rata-rata
• 20. Sumber variansi Dk (derajat kebesaran) JK (Julah kuadrat) KT (kuadrat tengah) F (Harga) rata-rata Antar kelompok Dalam kelompok 1 3 14 4.355,56 10,24 372,20 4.355,56 3,41 26,59 0,128 Total 18 4738 - -
• 21. dari daftar distribusi F dengan DK pembilang 3 dan Dk penyebut 14 dan peluang 0,95 (jadi α=0,05) didapat F= 3,34. Ternyata bahwa F = 0,128 Lebih kecil dari 3,34 : jadi hipotesis diterima dalam tafar nyata 0,05. Keempat macam campuran itu menyebabkan pertambahan berat badan kambing yang tidak berbeda secara nyata. Dengan kata lain, keempat macam makanan itu sama efektifnya sehingga campuran mana saja memberikan hasil yang secara nyata tidak berbeda.

pengujian hipotesis

.      Pengertian Hipotesis

Hipotesis adalah jawaban sementara terhadap suatu masalah. Jawaban tersebut masih perlu diuji kebenarannya. Seorang peneliti pasti akan mengamati sesuatu gejala, peristiwa, atau masalah yang menjadi focus perhatiannya. Sebelum mendapatkan fakta yang benar, mereka akan membuat dugaan tentang gejala, peristiwa, atau masalah yang menjadi titik perhatiannya tersebut.

      2. Fungsi Hipotesis

Fungsi atau kegunaan hipotesis yang disusun dalam suatu rencana penelitian, setidaknya ada empat yaitu:

a.    Hipotesis memberikan penjelasan sementara tentang gejala-gejala serta memudahkan perluasan pengetahuan dalam suatu bidang.

Untuk dapat sampai pada pengetahuan yang dapat dipercaya mengenai masalah pendidikan, peneliti harus melangkah lebih jauh dari pada sekedar mengumpukan fakta yang berserakan, untuk mencari generalisasi dan antar hubungan yang ada diantara fakta-fakta tersebut. Antar hubungan dan generalisasi ini akan memberikan gambaran pola, yang penting untuk memahami persoalan. Pola semacam ini tidaklah menjadi jelas selama pengumpulan data dilakukan tanpa arah. Hipotesis yang telah terencana dengan baik akan memberikan arah dan mengemukakan penjelasan. Karena hipotesis tersebut dapat diuji dan divalidasi (pengujian kesahiannya) melalui penyelidikan ilmiah, maka hipotesis dapat mebantu kita untuk memperluas pengetahuan.

b.    Hipotesis memberikan suatu pernyataan hubungan yang langsung dapat diuji dalam penelitian.

Pertanyaan tidak dapat diuji secara langsung. Penelitian memang dimulai dengan suatu pertanyaan, akan tetapi hanya hubungan antara variabel yang akan dapat duji. Misalnya, peneliti tidak akan menguji pertanyaan apakah komentar guru terhadap pekerjaan murid menyebabkan peningkatan hasil belajar murid secara nyata“? akan tetapi peneliti menguji hipotesis yang tersirat dalam pertanyaan tersebut “komentar guru terhadap hasil pekerjaan murid, menyebabkan meningkatnya hasil belajar murid secara nyata“ atau  yang lebih spesifik lagi “skor hasil belajar siswa yang menerima komentar guru atas pekerjaan mereka sebelumnya akan lebih tinggi dari pada skor siswa yang tidak menerima komentar guru atas pekerjaan mereka sebelumnya“. Selanjutnya peneliti, dapat melanjutkan penelitiannya dengan meneliti hubngan antara kedua vatiabel tersebut, yaitu komentar guru dan prestasi siswa.

c.    Hipotesis memberikan arah kepada penelitian

Hipotesis merupakan tujuan khusus. Dengan demikian hipotesis juga menentukan sifat-sifat data yang diperlukan untuk menguji pernyataan tersebut. Secara sangat sederhana, hipotesis menunjukkan kepada para peneliti apa yang harus dilakukan. Fakta yang harus dipilih dan diamati adalah fakta yang adahubungann nya dengan pertanyaan tertentu. Hipotesislah yang mentukan relevansi fakta-fakta itu. Hipotesis ini dapat memberikan dasar dalam pemilihan sampel serta prosedur penelitian yang harus dipakai. Hipotesis jufga dapat menunjukkan analisis satatistik yang diperlukan dan hubungannya yang harus menunjukkan analisis statistik yang diperlukan agar ruang lingkup studi tersebut tetap terbatas, dengan mencegahnya menjadi terlalu sarat.

Sebagi contoh, lihatlah kembali hipotesis tentang, latihan pra sekolah bagi anak-anak kelas satu yang mengalami hambatan kultural. Hipotesi ini menunjukkan metode penelitian yang diperlukan serta sampel yang harus digunakan. Hipotesis inipun bahkan menuntun peneliti kepada tes statistik yang mungkin diperlukan untuk menganalisis data. Dari pernyataan hipotesis itu, jelas bahwa peneliti harus melakukan eksperimen yang membandingkan hasil eblajr dikelas satu dari sampel siswa yang mengalami hambatan kultural dan telah mengalami program pra sekolah dengan sekelompok anak serupa yang tidak mengalami progaram pra sekolah. Setiap perbedaan hasil belajar rata-rat kedua kelompok tersebut dapat dianalaisis denga tes atai teknik analis variansi, agar dapat diketahui signifikansinya menurut statistik.

d.    Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan kesimpulan penyelidikan.

Akan sangat memudahkan peneliti jika mengambil setiap hipotesis secara terpisah dan menyatakan kesimpulan yang relevan dengan hipotesis tersebut. Artinya, peneliti dapat menyusun bagian laporan tertulis ini diseputar jawaban-jawaban terhadap hipotesis semula, sehingga membuat penyajian ini lebih berarti dan mudah dibaca.

      3. Ciri-Ciri Hipotesis yang Baik

Sebuah hipotesis atau dugaan sementara yang baik hendaknya mengandung beberapa hal.

Hal – hal tersebut diantaranya :
1) Hipotesis harus mempunyai daya penjelas
2) Hipotesis harus menyatakan hubungan yang diharapkan ada di antara variabel-variabel-variabel.
3) Hipotesis harus dapat diuji
4) Hipotesis hendaknya konsistesis dengan pengetahuan yang sudah ada.
5) Hipotesis hendaknya dinyatakan sesederhana dan seringkas mungkin.

Berikut ini beberapa penjelasan mengenai Hipotesis yang baik :
- Hipotesis harus menduga Hubungan diantara beberapa variabel
Hipotesis harus dapat menduga hubungan antara dua variabel atau lebih, disini harus dianalisis variabel-variabel yang dianggap turut mempengaruhi gejala-gejala tertentu dan kemudian diselidiki sampai dimana perubahan dalam variabel yang satu membawa perubahan pada variabel yang lain.

- Hipotesis harus Dapat Diuji
Hipotesis harus dapat di uji untuk dapat menerima atau menolaknya, hal ini dapat dilakukan dengan mengumpulkan data-data empiris.

- Hipotesis harus konsisten dengan keberadaan ilmu pengetahuan
Hipotesis tidak bertentangan dengan pengetahuan yang telah ditetapkan sebelumnya. Dalam beberapa masalah, dan terkhusus pada permulaan penelitian, ini harus berhati-hati untuk mengusulkan hipotesis yang sependapat dengan ilmu pengetahuan yang sudah siap ditetapkan sebagai dasar. Serta poin ini harus sesuai dengan yang dibutuhkan untuk memeriksa literatur dengan tepat oleh karena itu suatu hipotesis harus dirumuskan bedasar dari laporan penelitian sebelumnya.

- Hipotesis Dinyatakan Secara Sederhana
Suatu hipotesis akan dipresentasikan kedalam rumusan yang berbentuk kalimat deklaratif, hipotesis dinyatakan secara singkat dan sempurna dalam menyelesaikan apa yang dibutuhkan peneliti untuk membuktikan hipotesis tersebut.

      4.  Jenis-Jenis Hipotesis

a. Hipotesis Nol (Ho) 

Hipotesis nol (H0) adalah hipotesis yang menyatakan tidak adanya hubungan antara variabel independen (X) dan variabel dependen (Y). Artinya, dalam rumusan hipotesis,  yang diuji adalah ketidakbenaran variabel (X) mempengaruhi (Y). Ex: “tidak ada hubungan antara warna baju dengan kecerdasan mahasiswa”.

b. Hipotesis Kerja (H1)

Hipotesis Kerja (H1) adalah hipotesis yang menyatakan adanya hubungan antara variabel independen (X) dan variabel dependen (Y) yang diteliti. Hasil perhitungan H1 tersebut, akan digunakan sebagai dasar pencarian data penelitian.

      5. Pengujian Hipotesis
Suatu hipotesis harus dapat diuji berdasarkan data empiris, yakni berdasarkan apa yang dapat diamati dan dapat diukur. Untuk itu peneliti harus mencari situasi empiris yang memberi data yang diperlukan. Setelah kita mengumpulkan data, selanjutnya kita harus menyimpulkan hipotesis , apakah harus menerima atau menolak hipotesis. Ada bahayanya seorang peneliti cenderung untuk menerima atau membenarkan hipotesisnya, karena ia dipengaruhi bias atau perasangka. Dengan menggunakan data kuantitatif yang diolah menurut ketentuan statistik dapat ditiadakan bias itu sedapat mungkin, jadi seorang peneliti harus jujur, jangan memanipulasi data, dan harus menjunjung tinggi penelitian sebagai usaha untuk mencari kebenaran.

tugas statistika distribusi normal, distribusi t dan distribusi f

. Distribusi Normal

Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggunaan kurva distribusi lainnya. Frekuensi relatif suatu variabel yang mengambil nilai antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup merupakan distribusi normal.

Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gauss untuk menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.

Sifat dari variabel kontinu berbeda dengan variabel diskrit. Variabel kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh karenanya tidak bisadipisahkan satu nilai dengan nilai yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel random kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. Dengan kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam variabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah nilai. Distribusi kontinu mempunyai fungsi matematis tertentu. Jika fungsi matematis tersebut digambar, maka akan terbentuk kurva kepadatan dengan sifat sebagai berikut:

1. Probabilitas nilai x dalam variabel tersebut terletak dalam rentang antara 0 dan 1

2. Probabilitas total dari semua nilai x adalah sama dengan satu (sama dengan luas daerah

di bawah kurva)

Fungsi kepadatan merupakan dasar untuk mencari nilai probabilitas di antara dua nilai variabel. Probabilitas di antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva di antara dua nilai dibandingkan dengan luas daerah total di bawah kurva. Dapat dicari luas daerah tersebut dengan menggunakan integral tertentu (definit integral).

Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).

Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambarkan. Kedua kurva bentuknya persis sama tapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar.

Dengan memeriksa turunan pertama dan kedua dari n(x ; μ, σ) dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut :

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x=μ

2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan μ

3. Kurva mempunyai titik belok pada x = μ σ, cekung dari bawah bila μ – σ < x < μ + σ,

dan cekung dari atas untuk harga x lainnya

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak

menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan

5. Seluruh luas di bawah kurva diatas sumbu datar sama dengan 1

Bila x menyatakan peubah acak distribusi maka P(x1 < x < x2) diberikan oleh daerah yang diarsir dengan garis yang turun dari kiri ke kanan. Jelas bahwa kedua daerah yang diarsir berlainan luasnya. Jadi, peluang yang berpadanan dengan masing-masing distribusi akan berlainan pula.

Contoh soal :

Contoh Soal : Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggi badan 173 cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171,8 dan standar deviasinya adalah 12. Berapakah standar normalnya (Z) ?
Penyelesaian :
Dik : x = 173, µ = 171,8, σ = 12
Dit : Z ?
Jawab : Z = x - µ
σ = 173 – 171.8 = 0.1
12

2. ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA)

 ANOVA dapat digunakan untuk menguji kesaman 3 (tiga) atau lebih rata-rata populasi menggunakan data yang diperoleh dari pengamatan maupun percobaan.

n Menggunakan hasil sampel untuk menguji hipotesis berikut:

H₀: m₁ = m₂ = … = m_k

H_a: minimal ada m_i ¹ m_j

n Jika H₀ ditolak berarti minimal ada 2 rata-rata populasi yang memiliki nilai berbeda.

ASUMSI-ASUMSI PADA ANOVA

n Untuk setiap populasi, variabel respons-nya terdistribusi normal.

n Varian dari variabel respons, dinotasikan s ², adalah sama untuk semua populasi.

n Unit observasi harus saling bebas (independent).

ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI

ESTIMASI VARIAN POPULASI ANTAR SAMPEL

n Estimasi s² antar-sampel (between-samples) disebut mean square between (MSB).

n Pembilang dari MSB merupakan sum of squares between (SSB).

n Penyebut dari MSB menyatakan derajat bebas (degrees of freedom)yang terkait dengan SSB.

n ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI

ESTIMASI VARIAN POPULASI DALAM SAMPEL

n Estimasi s² yang didasarkan pada variasi observasi dalam masing-masing sampel disebut mean square within (MSW).

n Pembilang dari MSW disebut sum of squares within (SSW).

n Penyebut dari MSW menunjukkan derajat bebas (degrees of freedom) yang bersesuaian dengan SSW.

n ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI

PERBANDINGAN ESTIMASI VARIAN: UJI F

n Jika H₀ benar dan asumsi pada ANOVA terpenuhi, maka distribusi

n Jika rata-rata k populasi tidak sama, nilai MSB/MSW akan meningkat karena MSB overestimate.

n Oleh karena itu, kita akan menolak H₀.

n PROSEDUR PENGUJIAN RATA-RATA POPULASIHipotesis

H₀: m₁ = m₂ = … = m_k

H_a: minimal ada m_i ¹ m_j

n Uji Statistik

F = MSB/MSW

n Aturan Penolakan

Tolak H₀ jika F > F_a

dimana nilai F_a didasarkan pada distribusi F dg derajat bebas k - 1 dan n_T - 1.

CONTOH SOAL:
DISTRIBUSI T

Adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi T sebagai uji statsistik, table pengujiannya disebut table T student. Distribusi T pertama kali diterbitkan tahu 1908 dalam suatu makalah oleh W.S. Gosset. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan. Cirinya : sample yang di uji berukuran kurang dari 30

Tabel Nilai t

df		α
	0.05	0.025	0.01	0.005
1	6.314	12.706	31.821	63.657
2	2.920	4.303	6.965	9.925
3	2.353	3.182	4.541	5.841
4	2.132	2.776	3.747	4.604
5	2.015	2.571	3.365	4.032
6	1.943	2.447	3.143	3.707
7	1.895	2.365	2.998	3.499
8	1.860	2.306	2.896	3.355
9	1.833	2.262	2.821	3.250
10	1.812	2.228	2.764	3.169
11	1.796	2.201	2.718	3.106
12	1.782	2.179	2.681	3.055
13	1.771	2.160	2.650	3.012
14	1.761	2.145	2.624	2.977
15	1.753	2.131	2.602	2.947
16	1.746	2.120	2.583	2.921
17	1.740	2.110	2.567	2.898
18	1.734	2.101	2.552	2.878
19	1.729	2.093	2.539	2.861
20	1.725	2.086	2.528	2.845
21	1.721	2.080	2.518	2.831
22	1.717	2.074	2.508	2.819
23	1.714	2.069	2.500	2.807
24	1.711	2.064	2.492	2.797
25	1.708	2.060	2.485	2.787
26	1.706	2.056	2.479	2.779
27	1.703	2.052	2.473	2.771
28	1.701	2.048	2.467	2.763
29	1.699	2.045	2.462	2.756
30	1.697	2.042	2.457	2.750
40	1.684	2.021	2.423	2.704
50	1.676	2.009	2.403	2.678
100	1.660	1.984	2.364	2.626
10000	1.645	1.960	2.327	2.576

Uji t Tidak Berpasangan

Uji t dikembangkan oleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, ia menggunakan nama samaran Student, sehingga kemudian metode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. William Sealy Gosset menganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusi normal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudian mengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusi normal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusi student ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar. Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada n yang sangat besar, misalnya n=10000, nilai distribusi t sama persis dengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 dan bandingkan dengan nilai Z).

Pemakaian uji t ini bervariasi. Uji ini bisa digunakan untuk objek studi yang berpasangan dan juga bisa untuk objek studi yang tidak berpasangan. Berikut contoh penggunaan uji t.

Uji t tidak berpasangan

Contoh kasus :

Kita ingin menguji dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi

1. Hipotesis

Ho : 1 =₂

H_A : 1 ≠ ₂

2. Hasil penelitian tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Data hasil penelitian dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi (t/h)

Plot	Pupuk A Y1	Pupuk B Y2
1	7	8
2	6	6
3	5	7
4	6	8
5	5	6
6	4	6
7	4	7
8	6	7
9	6	8
10	7	7
11	6	6
12	5	7

3. Data analisis adalah sebagai berikut

Hitunglah

₁ = 5.58

_{Y 2} = 6.92

S₁ = 0.996

S₂ = 0.793

t_hit =( ₁ – ₂)/√(S₁²/n₁) +(S₂²/n₂)

=( 5.58 – 6.92)/√(0.996²/12)+(0.793²/12)

= -1.34/0.367522 = -3.67

Setelah itu, kita lihat nilai t table, sebagai nilai pembanding. Cara melihatnya adalah sebagai berikut. Pertama kita lihat kolom α = 0.025 pada Tabel 2. Nilai α ini berasal dari α 0.05 dibagi 2, karena hipotesis H_A kita adalah hipotesis 2 arah (lihat hipotesis). Kemudian, kita lihat baris ke 22. Nilai 22 ini adalah nilai df, yaitu n1+n2-2. Nilai n adalah jumlah ulangan, yaitu masing 12 ulangan. Akhirnya, kita peroleh nilai t_table = 2.074.

t _table = t _{α/2 (df)} = t_{0.05/2 (n1+n2-2)}=t_{0.025(12+12-2)} = t_0.025(22) = 2.074.

 

 

 

 

 

 



 

.